Question

拋物線y=ax²+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，設拋物線y=ax²+bx+3的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D．現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上．若平移后拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標的取值范圍；
（3）如圖2，將拋物線y=ax²+bx+3平移，平移后拋物線與x軸交于點E、F，與y軸交于點N，當E（-1，0）、F（5，0）時，在拋物線上是否存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7

2

？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接用待定系數法就可以求出拋物線的解析式；
（2）由（1）的解析式求出拋物線的頂點坐標，根據拋物線的頂點坐標求出直線OD的解析式，設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，

1

2

h），就可以表示出平移后的解析式，當拋物線經過點C時就可以求出h值，拋物線與直線CD只有一個公共點時可以得出

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，從而得出△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0求出h=4，從而得出結論；
（3）根據條件平移后求出拋物線的解析，求出直線FN的解析式，從而求出l₁，l₂的解析式，利用直線的解析式與拋物線的解析式構建方程組就可以求出其交點坐標就實G點的坐標．

解答：解：（1）拋物線解析式y=ax²+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點坐標為M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
于是可設平移后的拋物線的頂點坐標為（h，

1

2

h），
∴平移后的拋物線的解析式為y=（x-h）²+

1

2

h，
當拋物線經過點C時，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9．
解得h=

-1± 145

4

，
∴當

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

時，平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點；
當拋物線與直線CD只有一個公共點時，
由方程組

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此時拋物線y=（x-4）²+2與直線CD唯一的公共點為（3，3），點（3，3）在射線CD上，符合題意．
∴平移后拋物線與射線CD只有一個公共點時，頂點橫坐標的取值范圍是

-1- 145

4

≤h≤

-1+ 145

4

或h=4．

（3）平移后，當E（-1，0）、F（5，0）時，拋物線的解析式為：
y=（x+1）（x-5），即y=x²-4x-5．
當x=0時，y=-5．
∴N（0，-5）．
∴OF=ON=5，
假設存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7

2

，
∴G點應在與直線FN平行，且相距7

2

的兩條平行線l₁（如圖所示）和l₂（在直線FN下方且平行于直線FN）上．
由平行的性質可以知道l1和l2與y軸的交點到直線FN的距離也為7

2

，如圖，設l1與y軸交于點P，過點P作PQ⊥FN，垂足為Q，
∵OF=ON，
∴∠ONF=∠OFN=45°．
在Rt△PQN中，PQ=7

2

，∠PNQ=∠ONF=45°，
由勾股定理，得PN=

2

PQ=14．
∴直線l1與y軸的交點坐標為P（0，9）．
同理可得：直線l2與y軸的交點坐標為R（0，-19）．
∵OF=ON=5，
∴F（5，0），N（0，-5），
∴容易求得直線FN的解析式為：y=x-5．
∴直線l₁、l₂的解析式分別為l₁：y=x+9；l₂：y=x-19．
根據題意，列方程組：①

y=x2-4x-5 y=x+9

，②

y=x2-4x-5 y=x-19

，
由①，得x²-5x-14=0，解得x₁=7，x₂=-2
∴

x1=7 y1=16

，

x2=-2 y2=7

．
∴G₁（7，16），G₂（-2，7）．
由②，得x²-5x+14=0．
∵△=（-5）2-4×1×14＜0，此方程無實數根．
∴在拋物線上存在點G，使△GFN中FN邊上的高為7

2

．點G的坐標為：
G₁（7，16），G₂（-2，7）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求拋物線的解析式，二次函數圖象與幾何變換，勾股定理的運用及方程組與交點坐標的運用．