Question

【題目】數學課上,張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是邊BC的中點.∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF.

經過思考,小明展示了一種正確的解題思路：在AB上截取BM=BE,連接ME，則AM=EC,易證△AME≌△ECF，所以AE=EF.

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

(1)小穎提出：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎?如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

(2)小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上(除C點外)的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立。你認為小華的觀點正確嗎?如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）正確，證明見解析；（2）正確，證明見解析.

【解析】

解：（1）正確.

證明：在AB上取一點M，使AM=EC，連結ME，

∴BM=BE. ∴∠BME=45°. ∴∠AME=135°.

∵CF是外角平分線，

∴∠DCF = 45°. ∴∠ECF = 135°.

∴∠AME = ∠ECF .

∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF = 90°,

∴∠BAE = ∠CEF.

∴△AME ≌ △ECF（ASA).

∴AE=EF.

（2）正確.

證明：

在BA的延長線上取一點N，

使AN=CE，連接NE.

∴BN=BE.

∴∠N=∠FCE=45°.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BE . ∴∠DAE=∠BEA .

∴∠NAE=∠CEF . ∴△ANE≌△ECF（ASA).

∴AE=EF.