Question

【題目】在邊長為4的等邊△ABC中.

(1)如圖1，P，Q是BC邊上的兩點，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度數；

(2)點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與點B，C重合），點P在點Q的左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．依題意將圖2補全，并求證PA=PM．

(3)在(2)中，當AM的值最小時，直接寫出CM的長.

Answer 1

【答案】（1）78°；（2）見解析；（3）2．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠APQ=∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC，根據三角形外角的性質即可得到結論；
（2）如圖2根據等腰三角形的性質得到∠APQ=∠AQP，由鄰補角的定義得到∠APB=∠AQC，由點Q關于直線AC的對稱點為M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代換得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可得到結論．
（3）因為AM=AP，所以當AP⊥BC時，AM的值最小，此時P、Q重合，由此即可解決問題；

（1）∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=18°，
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=78°；
（2）如圖2，∵點Q關于直線AC的對稱點為M，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∵∠BAP=∠CAQ，
∴∠MAC=∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，
∴∠PAM=60°，
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△APM是等邊三角形，

∴AP=PM．
（3）∵AM=AP，
∴當AP⊥BC時，AM的值最小，
∴此時P、Q重合，CM=CQ=QB=2．