Question

【題目】如圖所示，甲、乙兩船同時由港口A出發開往海島B，甲船沿某一方向直航140海里的海島B，其速度為14海里/小時；乙船速度為20海里/小時，先沿正東方向航行3小時后，到達C港口接旅客，停留1小時后再轉向北偏東30°方向開往B島，其速度仍為20海里/小時．

（1）求海島B到航線AC的距離；

（2）甲船在航行至P處，發現乙船在其正東方向的Q處，問此時兩船相距多少？

Answer 1

【答案】（1）海島B到航線AC的距離為50海里；（2）兩船相距12海里．

【解析】

（1）過點B作BD⊥AE于D，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，設CD＝x，可得BD＝x，在Rt△BDA中，根據勾股定理可得方程1402＝（60+x）2+（x）2，解方程求得x的值，即可求得BD的長；（2）設運動時間為t，則AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，由題意可知PQ∥AC，由平行線分線段成比例定理可得，代入數值求得t值，即可求得AP、PB的長；再由△BPQ∽△BAC，根據相似三角形的性質可得，代入數據即可求得PQ的長．

（1）過點B作BD⊥AE于D，

由題意可知AC=60，AB=140，

在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，

設CD＝x，則BD＝x，

∵在Rt△BDA中，∠BDA＝90°

∴AD2+BD2＝AB2，得1402＝（60+x）2+（x）2

x2+30x﹣4000＝0，

∴x＝50或﹣80（舍棄），

∴BD＝50．

∴海島B到航線AC的距離為50海里；

（2）設運動時間為t，則AP＝14t，CQ＝20（t﹣4），BC＝100，

若點Q在點P的正東方向，則PQ∥AC，

∴＝，即：＝，得t＝8，

∴AP＝112，PB=140-112=28.

由∵△BPQ∽△BAC，

∴＝，即：＝，

得PQ＝12．

∴兩船相距12海里.