Question

【題目】已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列圖形中⊙O與△ABC的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為的是（　�。�

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

A．由三角形的內切圓的性質，即可求得⊙O的半徑；

B．易證得△ADO∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得⊙O的半徑；

C．易證得四邊形ODCE是正方形，然后由平行線分線段成比例定理，求得⊙O的半徑；

D．易證得四邊形ODCE是正方形，利用切線長定理，由勾股定理即可求得⊙O的半徑．

設⊙O的半徑為r． A．

∵⊙O是△ABC內切圓，∴S△ABC（a+b+c）rab，∴r；

B．如圖，連接OD，則OD＝OC＝r，OA＝b﹣r．

∵AD是⊙O的切線，∴OD⊥AB，即∠AOD＝∠C＝90°，∴△ADO∽△ACB，∴OA：AB＝OD：BC，即（b﹣r）：c＝r：a，解得：r；

C．連接OE，OD．

∵AC與BC是⊙O的切線，∴OE⊥BC，OD⊥AC，∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90°，∴四邊形ODCE是矩形．

∵OD＝OE，∴矩形ODCE是正方形，∴EC＝OD＝r，OE∥AC，∴OE：AC＝BE：BC，∴r：b＝（a﹣r）：a，∴r；

D．設AC、BA、BC與⊙O的切點分別為D、F、E，連接OD、OE．

∵AC、BE是⊙O的切線，∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90°，∴四邊形ODCE是矩形．

∵OD＝OE，∴矩形ODCE是正方形，即OE＝OD＝CD＝r，則AD＝AF＝b﹣r．

連接OB，OF，由勾股定理得：BF2＝OB2﹣OF2，BE2＝OB2﹣OE2．

∵OB＝OB，OF＝OE，∴BF＝BE，則BA+AF＝BC+CE，c+b﹣r＝a+r，即r．

故選C．