Question

在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，連接EF，與邊AB相交于點G．

（1）如果AD：AB=1：1（如圖1），判斷△AEF的形狀，并說明理由；
（2）如果AD：AB=1：2（如圖2），當點E在邊CD上運動時，判斷出線段AE、AF數量關系如何變化，并說明理由；
（3）如果AB=3，AD：AB=k，當點E在邊CD上運動時，是否存在k值使△AEG為等邊三角形？若存在，請直接寫出k的值以及DE的長度．

Answer 1

分析：（1）由AD：AB=1：1可以得出四邊形ABCD是正方形，由其性質就可以得出△ABF≌△ADE，從而得出AF=AE，得出△AEF的形狀；
（2）根據條件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性質就可以得出結論；
（3）如圖3，當△AEG是等邊三角形時，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的長度．

解答：解：（1）△AEF為等腰直角三角形
理由：如圖1，∵AD：AB=1：1，
∴AD=AB．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE，
即∠BAF=∠DAE．
在△ABF和△DAE中，

∠BAF=∠DAE AB=AD ∠ABF=∠D

，
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴△AEF為等腰直角三角形；
（2）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
∴∠FAE=∠BAD，
∴△ABF∽△ADE，
∴

AD

AB

=

AE

AF

．
∵

AD

AB

=

1

2

，
∴

AE

AF

=

1

2

，
即AF=2AE；
（3）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∵△AEG是等邊三角形，
∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．
∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，
∴AG=FG．
∵AB=3，AD：AB=k，
∴AD=3k．
在Rt△ADE中由勾股定理，得
DE=

3

k，AE=2

3

k，
∴AG=FG=2

3

k，
∴BG=

3

k．
∵AB=3，
∴GB=3-2

3

k，
∴

3

k=3-2

3

k，
解得：k=

3

3

，
∴DE=1．
答：k=

3

3

，DE=1．

點評：本題考查了矩形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，相似三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，直角三角形的性質的運用，解答時運用勾股定理表示線段的長度是本題的難點．