Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)C（4,0），頂點(diǎn)D在直線AB上。

（1）求這個(gè)拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似。若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)Q是軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，⊙M經(jīng)過點(diǎn)O，C，Q，求過C點(diǎn)且與⊙M相切的直線解析式

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)；（3）.

【解析】試題分析： 先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出拋物線的解析式.

分兩種情況進(jìn)行討論.

在中，用余弦得到設(shè) 根據(jù)勾股定理求出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式.

試題解析：

（1）由題知：D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

∴，

把代入拋物線： 解之得：

∴拋物線的解析式為：

（2）存在點(diǎn)

設(shè)對稱軸與軸交于點(diǎn),

易知：

情況1： 點(diǎn)在點(diǎn)上方，則

若 則

∴ 解得： ,

∴.

若則

解得：

∴ .

情況2：若P在D點(diǎn)的下方，則沒有一個(gè)角會(huì)為

∴與不可能相似

綜上可知：存在點(diǎn)

（3）、設(shè)與軸交于點(diǎn),連NC交拋物線對稱軸于一點(diǎn)，即為圓心M點(diǎn),

在中，

設(shè)

則： 解得：

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（0,8），

設(shè)過點(diǎn)且與相切的直線為

則 ,把點(diǎn)代入有： ，解得:

∴過點(diǎn)且與相切的直線為 .