Question

【題目】關于x的一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2＝0有兩個相等的實數根，拋物線y＝﹣x2+（m+1）x+3與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸相交于點C，拋物線的頂點為D．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖1，設拋物線的對軸交x軸于點E，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使P點到x軸的距離等于P點到直線BD的距離？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，作CF⊥DE于F，M為射線EA上一動點．如果在線段EF上恰好存在兩個點N滿足△CFN與△NEM相似，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．（2）當點P坐標為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）時，P點到x軸的距離等于P點到直線BD的距離．（3）

【解析】

（1）利用根的判別式列式求解即可.（2）由題意可知，點P在∠DBE及其外角的角平分線上，則角平分線與對稱軸的交點，即為點P的位置，利用勾股定理求解即可.（3）當以CM為直徑的⊙K與EF相切時，恰好存在兩個點N，使得△MNE和△CFN相似，由此確定M的位置，設EM＝a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，則KN＝，CM＝1+a，在Rt△CMO中，利用勾股定理列方程求解即可.

解：（1）∵一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2＝0有兩個相等的實數根，

∴△＝0且m+1≠0，

∴4（m+1）2﹣4（m+1）×2＝0，

解得m＝±1，

∵m≠﹣1，

∴m＝1，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．如圖1中，

①當P在x軸上方時，作PM⊥BD，設PM＝PE＝m，

由題意可知A（﹣1，0），B（3，0），D（1，4），

∴DE＝4，BE＝2，BD＝＝＝2，

在Rt△PDM中，∵PD2＝DM2＝PM2，

∴（4﹣m）2＝（2﹣2）2+m2，

解得m＝﹣1，

∴此時點P坐標（2，﹣1）．

②當P′在x軸下方時，作P′N⊥BD于N．設P′N＝P′E＝m，

在Rt△DP′N中，∵P′D2＝DN2+P′N2，

∴（4+m）2＝（2+2）2+m2，

解得m＝+1，

∴此時點P′坐標（2，﹣﹣1）．

綜上所述，當點P坐標為（2，﹣1）或（2，﹣﹣1）時，P點到x軸的距離等于P點到直線BD的距離．

（3）如圖2中，當以CM為直徑的⊙K與EF相切時，恰好存在兩個點N，使得△MNE和△CFN相似．

①設切點為N，則∠CNM＝90°，

∵∠CFN＝∠MEN＝90°，

∴∠MNE+∠CNF＝90°，∠CNF+∠NCF＝90°，

∴∠MNE＝∠NCF，

∴△MNE∽△NCF．

②作C關于直線DE的對稱點C′，連接MC′交DE于N′，

∵∠CN′F＝∠C′N′F＝∠MN′E，∠CFN′＝∠MEN′＝90°，

∴△N′ME∽△N′CF．

∴當以CM為直徑的⊙K與EF相切時，恰好存在兩個點N，使得△MNE和△CFN相似，

設EM＝a，連接KN，則KN是梯形CFEM的中位線，

∴KN＝，CM＝1+a，

在Rt△CMO中，∵CM2＝CO2+OM2，

∴（1+a）2＝（a﹣1）2＝32，

解得a＝，

∴OM＝EM﹣OE＝﹣1＝，

∴點M坐標為（﹣，0）．