Question

已知：如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB+CD=BC，M是AD的中點．
求證：BM⊥CM．

Answer 1

解：如圖所示，延長BM交CD的延長線于點E．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠MDE（兩直線平行，內錯角相等）．
在△ABM和△DEM中，
∵∠A=∠MDE，AM=DM，∠AMB=∠DME，
∴△ABM≌△DEM（ASA）．
∴BM=EM，AB=DE（全等三角形的對應邊相等）．
∵AB+CD=BC，
∴DE+DC=BC，即CE=CB．
又∵BM=ME，
∴CM⊥BM（三線合一）．
分析：作BM的延長線交CD的延長線于點E，根據題意可證，△ABM≌△DEM，又AB+CD=BC，且M是AD的中點，可證△BCE為等腰三角形，即得BM⊥CM．
點評：本題考查了判定三角形全等的定理以及線段常量的靈活計算，等腰三角形的中線，底邊上的高和垂線互相重合的知識點．