Question

已知：如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，BD=BC=4

3

，求梯形的面積．

Answer 1

分析：過點B作BE⊥DA交DA的延長線于E，則分別構成兩個直角三角形，Rt△BDE，Rt△ABE，利用直角三角形的性質求得ED，BE，AD，BD的長，再利用梯形的面積公式即可求得梯形的面積．

解答：解：方法一：過點B作BE⊥DA交DA的延長線于E．（1分）
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°．（2分）
在Rt△BDE中，∵BD=4

3

，
∴BE=

1

2

BD=2

3

，ED=BD×cos30°=6．（4分）
在Rt△BEA中，
∴AE=BE•cot60°=2

3

×

3

3

=2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，（5分）
∴S_梯形=

1

2

（AD+BC）•EB=

1

2

×（4+4

3

）×2

3

=4

3

+12．（6分）

方法二：過點A作AE⊥BD于E，過點D作DF⊥BC于F．（1分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB=AD．
∵∠BAD=120°，
∴∠2=∠3=∠1=30°．（2分）
∵BD=4

3

，
∴ED=

1

2

BD=2

3

．（3分）
在Rt△AED中，AD=

2 3

cos30°

=4，（4分）
在Rt△BFD中，DF=

1

2

BD=2

3

，（5分）
∴S_梯形=

1

2

（AD+BC）•DF=

1

2

×（4+4

3

）×2

3

=4

3

+12．（6分）

點評：此題考查梯形的性質及解直角三角形的綜合運用．