Question

我們知道：將一條線段AB分割成大小兩條線段AC、CB，若小線段CB與大線段AC的長(zhǎng)度之比等于大線段AC與線段AB的長(zhǎng)度之比，即

CB

AC

=

AC

AB

=

5 -1

2

=0.61803398874989．這種分割稱(chēng)為黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．類(lèi)似地我們可以定義，頂角為36°的等腰三角形叫黃金三角形，其底與腰之比為黃金數(shù)，底角平分線與腰的交點(diǎn)為腰的黃金分割點(diǎn)．
（1）如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分線CD交腰AB于點(diǎn)D，請(qǐng)你說(shuō)明D為腰AB的黃金分割點(diǎn)的理由．
（2）若腰和上底相等，對(duì)角線和下底相等的等腰梯形叫作黃金梯形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)角線的黃金分割點(diǎn)．如圖2，AD‖BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC，試說(shuō)明O為AC的黃金分割點(diǎn)．
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的對(duì)邊分別為a、b、c．若D是AB的黃金分割點(diǎn)，那么a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系是什么并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）（2）要證明某個(gè)點(diǎn)為黃金分割點(diǎn)，可以通過(guò)證明邊對(duì)應(yīng)成比例，也可證明其為頂角為36°的黃金三角形，從而證明其是黃金分割點(diǎn)；
（3）根據(jù)同角的余角相等知，∠ACD∠B，證得△ACB∽△ADC，有

AC

AD

=

AB

AC

，即AC²=AD•AB?b²=AD•c，同理可得a²=BD•c，點(diǎn)D為AB的黃金分割點(diǎn)，有AD²=BD•c，把AD，BD消去即有b²=ac．

解答：證明：（1）在△ABC中，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=

1

2

（180°-∠A）=72度．
∵CD為∠ACB的角平分線，
∠DCB=

1

2

∠ACB=36°，
∴∠A=∠DCB，
又∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

CB

=

CB

BD

，
∵∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC=72°，
∴BC=CD，
同理可證，AD=CD，
∴BC=DC=AD，
∴

AB

AD

=

AD

BD

，
∴點(diǎn)D為腰AB的黃金分割點(diǎn)；

（2）在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AD∥BC，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC=α，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA=α，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA=α，
∴∠ABC=2α．
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=2α，
在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5α=180°，
∴α=36°，
在等腰△ABC中，
∵BO為∠ABC的角平分線，∠ACB=α=36°，
∴O為腰AC的黃金分割點(diǎn)，
即

CO

AC

=

AO

CO

；

解：（3）a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系是b²=ac．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，即AC²=AD•AB，
∴b²=AD•c，
同理可證，a²=BD•c，
∴AD=

b2

c

①
BD=

a2

c

②
又∵D為AB的黃金分割點(diǎn)，
∴AD²=BD•c③
把①、②代入③得：b⁴=a²c²，
∵a、c均為正數(shù)，
∴b²=ac，
∴a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系為b²=ac．

點(diǎn)評(píng)：主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定和性質(zhì)的理解以及對(duì)黃金分割與等腰梯形的性質(zhì)的掌握情況．