Question

我們知道：將一條線段AB分割成大小兩條線段AC、CB，若小線段CB與大線段AC的長度之比等于大線段AC與線段AB的長度之比，即．這種分割稱為黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．類似地我們可以定義，頂角為36°的等腰三角形叫黃金三角形，其底與腰之比為黃金數，底角平分線與腰的交點為腰的黃金分割點．
（1）如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分線CD交腰AB于點D，請你說明D為腰AB的黃金分割點的理由．
（2）若腰和上底相等，對角線和下底相等的等腰梯形叫作黃金梯形，其對角線的交點為對角線的黃金分割點．如圖2，AD‖BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC，試說明O為AC的黃金分割點．
（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的對邊分別為a、b、c．若D是AB的黃金分割點，那么a、b、c之間的數量關系是什么并證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）在△ABC中，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=（180°-∠A）=72度．
∵CD為∠ACB的角平分線，
∠DCB=∠ACB=36°，
∴∠A=∠DCB，
又∵∠ABC=∠CBD，
∴△ABC∽△CBD，
∴，
∵∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC=72°，
∴BC=CD，
同理可證，AD=CD，
∴BC=DC=AD，
∴，
∴點D為腰AB的黃金分割點；

（2）在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC，AD∥BC，
∴∠ABC=∠DCB．
又∵BC=BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC=α，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDA=α，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠BDA=α，
∴∠ABC=2α．
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=2α，
在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5α=180°，
∴α=36°，
在等腰△ABC中，
∵BO為∠ABC的角平分線，∠ACB=α=36°，
∴O為腰AC的黃金分割點，
即；

解：（3）a、b、c之間的數量關系是b²=ac．
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴，即AC²=AD•AB，
∴b²=AD•c，
同理可證，a²=BD•c，
∴AD=①
BD=②
又∵D為AB的黃金分割點，
∴AD²=BD•c③
把①、②代入③得：b⁴=a²c²，
∵a、c均為正數，
∴b²=ac，
∴a、b、c之間的數量關系為b²=ac．
分析：（1）（2）要證明某個點為黃金分割點，可以通過證明邊對應成比例，也可證明其為頂角為36°的黃金三角形，從而證明其是黃金分割點；
（3）根據同角的余角相等知，∠ACD∠B，證得△ACB∽△ADC，有，即AC²=AD•AB?b²=AD•c，同理可得a²=BD•c，點D為AB的黃金分割點，有AD²=BD•c，把AD，BD消去即有b²=ac．
點評：主要考查學生對相似三角形的判定和性質的理解以及對黃金分割與等腰梯形的性質的掌握情況．