Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與軸交于點A、與軸交于點B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關于軸對稱.

(1)求△ABC的面積；

(2)如圖2，D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊，D為直角頂點，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；

(3)如圖3，點E是軸正半軸上一點，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段AO上一動點，判斷是否存在這樣的點M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，請寫出其最小值，并加以說明.

Answer 1

【答案】（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.

【解析】

(1)根據直線與坐標軸的交點易得A,C的坐標，從而得出AC=12，OB=6，根據三角形面積公式可求解；

(2) 過E作EF⊥x軸于點F，延長EA交y軸于點H，證△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.

(3)由已知條件可在線段OA上任取一點N,再在AE作關于OF的對稱點,當點N運動時，最短為點O到直線AE的距離.再由，在直角三角形中,

即可得解.

解：（1）由已知條件得：

AC=12，OB=6

∴

（2）過E作EF⊥x軸于點F，延長EA交y軸于點H,

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=DB, ∠BDE=90°,

∴

∵

∴

∴

∵EF軸，

∴

∴DF=BO=AO,EF=OD

∴AF=EF

∴

∴∠BAE＝90°

（3）由已知條件可在線段OA上任取一點N,再在AE作關于OF的對稱點,當點N運動時，最短為點O到直線AE的距離,即點O到直線AE的垂線段的長，

∵，OA=6，

∴OM+ON=3