Question

在平面直角坐標系xOy中，點、分別在軸、軸的正半軸上，且，點為線段的中點．
（1）如圖1，線段的長度為________________；

（2）如圖2，以為斜邊作等腰直角三角形，當點在第一象限時，求直線所對應的函數的解析式；

（3）如圖3，設點、分別在軸、軸的負半軸上，且，以為邊在第三象限內作正方形，請求出線段長度的最大值，并直接寫出此時直線所對應的函數的解析式．

圖2

 

Answer 1

（1）5 （2）直線OC所對應的函數解析式為（3）線段MG取最大值10+．
此時直線MG的解析式

試題分析：（1）根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半得線段的長度為5.
以為斜邊作等腰直角三角形，當點在第一象限時,過點C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．
所以∠CQB=∠CPA=90°，又有∠QOP=90°，∠QCP=90°．∠BCA=90°，∠BCQ=∠ACP．BC=AC，
可證得△BCQ≌△ACP．從而得CQ=CP．不妨設C點的坐標為(a，a)(其中)．
設直線OC所對應的函數解析式為，，解得k=1，所以直線OC所對應的函數解析式為（3）取DE的中點N，連結ON、NG、OM.因為∠AOB=90°，所以OM=．同理得ON=5．
在正方形DGFE，N為DE中點，DE=10，由勾股定理得NG=．在點M與G之間總有MO+ON+NG由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關于點O中心對稱時，M、O、N、G四點共線,此時等號成立.這時線段MG取最大值10+．
此時直線MG的解析式
試題解析：（1）5
（2）如圖1,過點C分別作CP⊥x軸于P，CQ⊥y軸于Q．
∴∠CQB=∠CPA=90°，

∵∠QOP=90°，
∴∠QCP=90°．
∵∠BCA=90°，
∴∠BCQ=∠ACP．
∵BC=AC，
∴△BCQ≌△ACP．
∴CQ=CP．
∵點在第一象限,
∴不妨設C點的坐標為(a，a)(其中)．
設直線OC所對應的函數解析式為，
∴，解得k=1，
∴直線OC所對應的函數解析式為．           4分
（3）取DE的中點N，連結ON、NG、OM.
∵∠AOB=90°，
∴OM=．
同理ON=5．
∵正方形DGFE，N為DE中點，DE=10，
∴NG=．
在點M與G之間總有MO+ON+NG(如圖2)，
由于∠DNG的大小為定值，只要,且M、N關于點O中心對稱時，M、O、N、G四點共線,此時等號成立（如圖3）.
∴線段MG取最大值10+．
此時直線MG的解析式