Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內部，延長AF交CD于點G．
（1）猜想線段GF與GC有何數量關系？并證明你的結論；
（2）若AB=3，AD=4，求線段GC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：GF=GC．

理由如下：連接GE，

∵E是BC的中點，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90°，

∴∠EFG=90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），

∴GF=GC

（2）解：設GC=x，則AG=3+x，DG=3﹣x，

在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，

解得x= ．

【解析】（1）連接GE，根據點E是BC的中點以及翻折的性質可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；（2）設GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．