Question

（2008•涼山州）如圖，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中點，以DC為直徑的⊙O交△ABC的三邊，交點分別是G，F，E點．GE，CD的交點為M，且ME=4，MD：CO=2：5．
（1）求證：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直徑CD的長；
（3）若cos∠B=0.6，以C為坐標原點，CA，CB所在的直線分別為X軸和Y軸，建立平面直角坐標系，求直線AB的函數表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接DF，根據CD是圓直徑，可知∠CFD=90°即DF⊥BC，DF∥AC，推出∠BDF=∠A，在⊙O中∠BDF=∠GEF，所以∠GEF=∠A；
（2）根據D是Rt△ABC斜邊AB的中點，DC=DA，∠DCA=∠A，可證明△OME與△EMC相似，所以，ME²=OM×MC，結合MD：CO=2：5，OM：MD=3：2，OM：MC=3：8，設OM=3xMC=8x，可求x=2，則直徑CD=10x=20；
（3）根據Rt△ABC斜邊AB的中線CD=20可求得AB=40，cos∠B=0.6，BC=24，AC=32．設直線AB的函數表達式為y=kx+b把A（32，0）B（0，24）代入利用待定系數法求得，直線AB的函數解析式為y=-x+24．
解答：（1）證明：連接DF，
∵CD是圓直徑∴∠CFD=90°即DF⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠A，
∵在⊙O中∠BDF=∠GEF，∴∠GEF=∠A．

（2）解：∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠A，
又由（1）知∠GEF=∠A∴∠DCA=∠GEF，
又∵∠OME=∠EMC，
∴△OME∽△EMC相似，
∴∴ME²=OM×MC，
又∵ME=∴OM×MC==96，
∵MD：CO=2：5，
∴OM：MD=3：2，∴OM：MC=3：8，
設OM=3xMC=8x，
∴3x×8x=96，
∴x=2，
直徑CD=10x=20．

（3）解：∵Rt△ABC斜邊AB的中線CD=20，
∴AB=40，
∵在Rt△ABC中，cos∠B=0.6=，∴BC=24，
∴AC=32，
設直線AB的函數表達式為y=kx+b根據題意得A（32，0）B（0，24），
b=24，0×k+b=24解得，32×k+b=0，
∴直線AB的函數解析式為y=-x+24．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．
解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．