Question

如圖，在正方形ABCD中，0是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥OF于點0，分別交AB、BC于點E、F．若AE=4，CF=3，求EF的長．

Answer 1

分析：根據正方形的對角線互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，對角線平分一組對角可得∠OAE=∠OBF，再根據等角的余角相等求出∠AOE=∠BOF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△BOF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=AE，同理可得BE=CF，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，

∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF

，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴BF=AE=4，
同理可得BE=CF=3，
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，同角的余角相等的性質，熟記正方形的性質，求出三角形全等的條件是解題的關鍵．