Question

【題目】在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小華同學在解答這道題時，先畫一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．這種方法叫做構圖法．

（1）△ABC的面積為：　 　．

（2）若△DEF三邊的長分別為、、，請在圖2的正方形網格中畫出相應的△DEF，并利用構圖法求出它的面積為　 　．

（3）如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數量關系，并證明你的結論．

（4）如圖4，一個六邊形的花壇被分割成7個部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為13m2、25m2、36m2，則六邊形花壇ABCDEF的面積是　 　m2．

Answer 1

【答案】（1）3.5；（2）3； （3）EP=FQ，證明見解析；（4）110m．

【解析】分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；

（2）根據網格結構和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面積減去四周三個小直角三角形的面積，計算即可得解；（3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角邊”證明△ABG和△EAP全等，同理可證△ACG和△FAQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得EP=AG=FQ；（4）過R作RH⊥PQ于H，設PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解無理方程求出h，從而求出△PQR的面積，再根據六邊形被分成的四個三角形的面積相等，總面積等于各部分的面積之和列式計算即可得解．

本題解析：

(1)△ABC的面積=3×3×2×1×3×1×2×3=911.53=95.5=3.5；

(2)△DEF如圖2所示:

面積=2×4×1×2×2×2×1×4=8122=85=3；

(3) EP=FQ，

證明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE,∠BAE=90，

∴∠PAE+∠BAG=180°90°=90°,又∵∠AEP+∠PAE=90°，∴∠BAG=∠AEP，

在△ABG和△EAP中，

，∴△ABG≌△EAP(AAS)，同理可證,△ACG≌△FAQ，∴EP=AG=FQ；

(4)如圖4，過R作RH⊥PQ于H，設RH=h，

在Rt△PRH中,PH=，

在Rt△RQH中,QH=,

∴PQ==6，

，

兩邊平方得,25h=3612+13h，

整理得, =2，

兩邊平方得,13h=4，

解得h=3，

∴×6×3=9，

∴六邊形花壇ABCDEF的面積=25+13+36+4×9=74+36=110m.