Question

【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點,點P在射線AD上,過P作PF⊥AE于F.

(1)求證:;

(2)當點P在射線AD上運動時,設PA=X,是否存在實數x,使以P,F,E為頂點的三角形也與△ABE相似?若存在,請求出x的值;若不存在,說明理由

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2或5.

【解析】

（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE，從而列比例式使問題得解；（2）根據題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進而列出關系式．

證明：（1）∵AD∥BC，

∴∠PAF=∠AEB．

∵∠PFA=∠ABE=90°，

∴△PFA∽△ABE

∴

即：

（2）若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB．

∴PE∥AB．

∴四邊形ABEP為矩形．

∴PA=EB=2，即x=2．

若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB．

∵∠PAF=∠AEB，

∴∠PEF=∠PAF．

∴PE=PA．

∵PF⊥AE，

∴點F為AE的中點．

∵AE= ，

∴EF=AE=．

∵ ，即，

∴PE=5，即x=5．

∴滿足條件的x的值為2或5