Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點，點，以為邊在右側作正方形

（1）當點在軸正半軸上運動時，求點的坐標（用表示）；

（2）當時，如圖2，為上一點，過點作，，連交于點，求的值；

（3）如圖3，在第（2）問的條件下，、分別為、上的點，作軸交于，作軸交于，是與的交點，若，試確定的大小，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）C（m+4，m）；（2）4；（3）45°，證明見解析

【解析】

（1）如圖1中，作CE⊥x軸于E．利用全等三角形的性質即可解決問題；

（2）如圖2中，作ME⊥y軸于E，作MF∥OA交OD于F．構造平行四邊形，全等三角形解決問題即可；

（3）如圖3中，延長CO到M，使得OM=DE．則△AOM≌△ADE．設AG=a，AH=b，由題意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，利用勾股定理想辦法證明EF=OF+DE=FM，再證明△AFM≌△AFE，可得∠FAM=即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作CE⊥x軸于E．

∵∠AOB=∠ABC=∠CEB=90°，

∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBE=90°，

∴∠OAB=∠CBE，∵AB=BC，

∴△ABO≌△BCE，

∴CE=OB=m，BE=OA=4，

∴C（m+4，m）．

（2）如圖2中，作ME⊥y軸于E，作MF∥OA交OD于F．

∵∠MEP=∠MPC=∠COP=90°，

∴∠MPE+∠PME=90°，∠MAE+∠CPO=90°，

∴∠PME=∠CPO，∵PM=PC，

∴△MEP≌△OPC，

∴PE=OC=AO，EM=OP，

∴OP=AE=EM，

∴∠EAM=45°，∵∠AOD=45°，

∴∠EAM=∠AOD，

∴AM∥ON，∵OA∥MF，

∴四邊形AMFO是平行四邊形，

∴FM=OA=CD，MF∥CD，AM=OF，

∴∠NDC=∠NFM，∵∠MNF=∠CND，

∴△CDN≌△MFN，

∴FN=DN，

∴AM+2DN=OF+DF=OD=4．

（3）如圖3中，延長CO到M，使得OM=DE．則△AOM≌△ADE．

設AG=a，AH=b，由題意DE=a，OF=b，EK=DH=4-b，EC=OG=4-a，

∵S四邊形KFCE=2S四邊形AGKH，

∴（4-a）（4-b）=2ab，

∴16-4（a+b）+ab=2ab，

∴ab=16-4（a+b），

∴2ab=32-8（a+b），

在Rt△EFC中，EF=

∴EF=OF+DE=OF+OM=FM，

∵AF=AF，AM=AE，

∴△AFM≌△AFE，

∴∠FAM=∠FAE，

∵∠DAE=∠OAM，

∴∠EAM=∠DAO=90°，

∴∠EAF=45°．