Question

【題目】已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是邊AC上一點（不包括端點A、C），過點P作PE⊥BC于點E，過點E作EF∥AC，交AB于點F．設PC=x，PE=y．

（1）求y與x的函數關系式；

（2）是否存在點P使△PEF是Rt△？若存在，求此時的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0＜x＜20）；（2）當x=10或x=16，存在點P使△PEF是Rt△．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△ABC中，根據三角函數可求y與x的函數關系式；

（2）分三種情況：①如圖1，當∠FPE=90°時，②如圖2，當∠PFE=90°時，③當∠PEF=90°時，進行討論可求x的值．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，∴sinC=，∵PE⊥BC于點E，∴sinC==，∵PC=x，PE=y，∴（0＜x＜20）；

（2）存在點P使△PEF是Rt△，①如圖1，當∠FPE=90°時，四邊形PEBF是矩形，BF=PE=x，四邊形APEF是平行四邊形，PE=AF=x，∵BF+AF=AB=10，∴x=10；

②如圖2，當∠PFE=90°時，Rt△APF∽Rt△ABC，∠ARP=∠C=30°，AF=40﹣2x，平行四邊形AFEP中，AF=PE，即：40﹣2x=x，解得x=16；

③當∠PEF=90°時，此時不存在符合條件的Rt△PEF．

綜上所述，當x=10或x=16，存在點P使△PEF是Rt△．