Question

【題目】如圖1，拋物線C：y=x2經(jīng)過變化可得到拋物線C1：y1=a1x（x﹣b1），C1與x軸的正半軸交與點(diǎn)A1 ， 且其對稱軸分別交拋物線C，C1于點(diǎn)B1 ， D1 ， 此時(shí)四邊形OB1A1D1恰為正方形；按上述類似方法，如圖2，拋物線C1：y1=a1x（x﹣b1）經(jīng)過變換可得到拋物線C2：y2=a2x（x﹣b2），C2與x軸的正半軸交與點(diǎn)A2 ， 且其對稱軸分別交拋物線C1 ， C2于點(diǎn)B2 ， D2 ， 此時(shí)四邊形OB2A2D2也恰為正方形；按上述類似方法，如圖3，可得到拋物線C3：y3=a3x（x﹣b3）與正方形OB3A3D3 ． 請?zhí)骄恳韵聠栴}：

（1）填空：a1= ， b1=；
（2）求出C2與C3的解析式；
（3）按上述類似方法，可得到拋物線Cn：yn=anx（x﹣bn）與正方形OBnAnDn（n≥1）．
①請用含n的代數(shù)式直接表示出Cn的解析式；
②當(dāng)x取任意不為0的實(shí)數(shù)時(shí)，試比較y2015與y2016的函數(shù)值的大小并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）1；2
（2）

解：y2=0時(shí)，a2x（x﹣b2）=0，

x1=0，x2=b2，

∴A2（b2，0），

由正方形OB2A2D2得：OA2=B2D2=b2，

∴B2（ ， ），

∵B2在拋物線c1上，則 =（ ）2﹣2× ，

b2（b2﹣6）=0，

b2=0（不符合題意），b2=6，

∴D2（3，﹣3），

把D2（3，﹣3）代入C2的解析式：﹣3=3a2（3﹣6），a2= ，

∴C2的解析式：y2= x（x﹣6）= x2﹣2x，

y3=0時(shí)，a3x（x﹣b3）=0，

x1=0，x2=b3，

∴A3（b3，0），

由正方形OB3A3D3得：OA3=B3D3=b3，

∴B3（ ， ），

∵B3在拋物線C2上，則 = （ ）2﹣2× ，

b3（b3﹣18）=0，

b3=0（不符合題意），b3=18，

∴D3（9，﹣9），

把D3（9，﹣9）代入C3的解析式：﹣9=9a3（9﹣18），a3= ，

∴C3的解析式：y3= x（x﹣18）= ﹣2x；

（3）

解：①Cn的解析式：yn= x2﹣2x（n≥1）．

②由上題可得拋物線C2015的解析式為：y2015= x2﹣2x，

拋物線C2016的解析式為：y2016= x2﹣2x，

∴兩拋物線的交點(diǎn)為（0，0）；

∴當(dāng)x＜0時(shí)，y2015＜y2016；當(dāng)x＞0時(shí)，y2015＞y2016．

【解析】解：（1）y1=0時(shí)，a1x（x﹣b1）=0，
x1=0，x2=b1 ，
∴A1（b1 ， 0），
由正方形OB1A1D1得：OA1=B1D1=b1 ，
∴B1（ ， ），D1（ ，﹣ ），
∵B1在拋物線c上，則 = ，
b1（b1﹣2）=0，
b1=0（不符合題意），b1=2，
∴D1（1，﹣1），
把D1（1，﹣1）代入y1=a1x（x﹣b1）中得：﹣1=﹣a1 ，
∴a1=1，
故答案為：1，2；
（1）求與x軸交點(diǎn)A1坐標(biāo)，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)表示出B1的坐標(biāo)，代入對應(yīng)的解析式即可求出對應(yīng)的b1的值，寫出D1的坐標(biāo)，代入y1的解析式中可求得a1的值；（2）求與x軸交點(diǎn)A2坐標(biāo)，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)表示出B2的坐標(biāo)，代入對應(yīng)的解析式即可求出對應(yīng)的b2的值，寫出D2的坐標(biāo)，代入y2的解析式中可求得a2的值，寫出拋物線C2的解析式；再利用相同的方法求拋物線C3的解析式；（3）①根據(jù)圖形變換后二次項(xiàng)系數(shù)不變得出an=a1=1，由B1坐標(biāo)（1，1）、B2坐標(biāo)（3，3）、B3坐標(biāo)（7，7）得Bn坐標(biāo)（2n﹣1，2n﹣1），則bn=2（2n﹣1）=2n+1﹣2（n≥1），寫出拋物線Cn解析式．②先求拋物線C2015和拋物線C2016的交點(diǎn)為（0，0），在交點(diǎn)的兩側(cè)觀察圖形得出y2015與y2016的函數(shù)值的大小．