Question

【題目】邊長相等的兩個正方形ABCO、ADEF如圖擺放，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AG，已知OA長為.

（1）求證：;

（2）若，AG=2，求點G的坐標；

（3）在（2）條件下，在直線PE上找點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形，求出點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）M坐標為或（．

【解析】

（1）由AO＝AD，AG＝AG，根據斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，判斷出即可；

（2）在中，由，，根據勾股定理求出OG的長，即可求出點G坐標；

（3）根據題意，分兩種情況：①如圖1，當點M在 y軸的負半軸上時；②如圖2，當點M在GP延長線上時，作GH⊥AB于點H，通過全等三角形的性質及等邊三角形的性質可得出點M為所求的點，再結合點A、點G的坐標即可求出點M的坐標．

（1）證明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，

∴△AOG≌△ADG（HL）．

（2）解：∵在中，，，

∴,

∴G點坐標為．

（3）①如圖1，延長GE交軸于點M，
∵△AOG≌△ADG，
∴，

又∵，，

∴，

∵，

∴,

在△AOG和△MOG中，

∴，

∴AG＝MG，

∴△AGM為等腰三角形，

∵點A坐標為，
∴點M坐標為．

②如圖2，延長GP與AB的延長線交于點M，作GH⊥AB于點H．

∵，
∴，
∴；

∴，

∴為等邊三角形，

∴GH垂直平分線AM．

∵，，

∴，

∴點M坐標為．
綜上可得點M坐標為或．