Question

【題目】已知：中，，，點為內一點，連接，，，過點作，交的延長線于點.

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，點為的中點，分別連接，，求的度數；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點為上一點，連接，點為的中點，連接，過點作，交的延長線于點，若，的面積為30，，求線段的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析;（2）45°;(3)10

【解析】

（1）根據全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進而利用全等三角形的性質得出AE=BD；
（2）根據全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進而利用全等三角形的性質解答；
（3）過點M作MS⊥FH于點S，過點E作ER⊥FH，交HF的延長線于點R，過點E作ET∥BC，根據全等三角形判定和性質解答即可．

證明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE+CAE=∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ACE=∠BAD，
在△CAE與△ABD中

∴△CAE≌△ABD（AAS），
∴AE=BD；

（2）連接AH，如圖2

∵AB=AC，BH=CH，，
∴∠BAH=∠BAC＝×90°＝45°，∠AHB=90°，
∴∠ABH=∠BAH=45°，
∴AH=BH，
∵∠EAH=∠BAH-∠BAD=45°-∠BAD，
∠DBH=180°-∠ADB-∠BAD-∠ABH=45°-∠BAD，
∴∠EAH=∠DBH，
在△AEH與△BDH中
∴△AEH≌△BDH（SAS），
∴EH=DH，∠AHE=∠BHD，
∴∠AHE+∠EHB=∠BHD+∠EHB=90°
即∠EHD=90°，
∴∠EDH=∠DEH=＝45°
（3）過點M作MS⊥FH于點S，過點E作ER⊥FH，交HF的延長線于點R，過點E作ET∥BC，交HR的延長線于點T．如圖3

∵DG⊥FH，ER⊥FH，
∴∠DGH=∠ERH=90°，
∴∠HDG+∠DHG=90°
∵∠DHE=90°，
∴∠EHR+∠DHG=90°，
∴∠HDG=∠HER
在△DHG與△HER中

∴△DHG≌△HER（AAS），
∴HG=ER，
∵ET∥BC，
∴∠ETF=∠BHG，∠EHB=∠HET，
∴∠ETF=∠FHM，
∵∠EHB=∠BHG，
∴∠HET=∠ETF，
∴HE=HT，
在△EFT與△MFH中

，
∴△EFT≌△MFH（AAS），
∴HF=FT，
∵＝，
∴ER=MS，
∴HG=ER=MS，
設GH=6k，FH=5k，則HG=ER=MS=6k，

∴＝＝30，
∴k=，
∴FH=5，
∴HE=HT=2HF=10，