Question

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿的市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示．

（1）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數關系式P；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數關系式Q；
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？

Answer 1

分析：（1）本題是一次函數的分段函數，二次函數的綜合應用題，需要逐步求解，理解題意，寫出自變量的范圍．為解答（2）打基礎；
（2）的基本等量關系是：純收益=市場售價-種植成本．由于P是分段函數，所以h也是分段函數，求最大利潤，就要在每一個分段函數內，根據自變量取值范圍，函數性質來確定．

解答：解：（1）由圖-可得市場售價與時間的函數關系為
P=

300-t，0≤t≤200 2t-300，200＜t≤300

由圖二可得種植成本與時間的函數關系為
Q=

1

200

（t-150）²+100，0≤t≤300

（2）設t時刻的純收益為h，則由題意得h=P-Q，即
h=

- 1 200 t2+ 1 2 t+ 175 2 ；0≤t≤200 - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 ；200＜t≤300

當0≤t≤200時，配方整理得
h=-

1

200

（t-50）²+100
所以，當t=50時，h（t）取得區間[0，200]上的最大值100
當200＜t≤300時，配方整理得
h=-

1

200

（t-350）²+100
所以，當t=300時，h取得區間[200，300]上的最大值87.5
綜上，由100＞87.5可知，h在區間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．

點評：一次函數與分段函數，二次函數，自變量取值范圍在本題中都得到了體現，要根據題目給的范圍，找準等量關系，分段求最大值．