Question

【題目】已知：拋物線經過坐標原點，且當時, y隨x的增大而減小.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如下圖，設點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點D，再作ABx軸于點B, DCx軸于點C.

①當 BC=1時，直接寫出矩形ABCD的周長；

②設動點A的坐標為（a, b）,將矩形ABCD的周長L表示為a的函數，并寫出自變量的取值范圍，判斷周長是否存在最大值，如果存在，求出這個最大值，并求出此時點A的坐標；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）①6 ，②L= ，當A的坐標為（，﹣）或（，﹣），L的最大值為．

【解析】試題分析：（1）由題意知：拋物線過（0，0），所以將（0，0）代入y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1即可求得m的值，再由x＜0時，y隨x的增大而減小，可知對稱軸一定在y軸的右側，進而得出m的取值范圍；

（2）①由AD∥x軸，所以A與D關于拋物線的對稱軸對稱，從而得出B的橫坐標，代入拋物線解析式即可求得B的縱坐標，從而得出AB的長度；

②把A（a，b）代入y=x2﹣3x，所以b=a2﹣3a，利用對稱性可求得D的坐標為（3﹣a，a2﹣3a），所以AD=|3﹣2a|，然后分以下兩種情況討論：0＜a≤時和＜a＜3時，分別求出L與a的關系式后，利用二次函數的性質即可求出L的最值．

試題解析：解：（1）把（0，0）代入y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1，∴0=m2﹣1，∴m=±1，∵當x＜0時，y隨x的增大而減小，∴對稱軸x=＞0，∴m＜，∴m=﹣1，∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x；

（2）①∵AD∥x軸，∴A與D關于拋物線的對稱軸對稱，∵拋物線的對稱軸為x=，BC=1

∴點B的橫坐標為1，∴把x=1代入y=x2﹣3x，∴y=﹣2，∴AB=2，∴矩形ABCD的周長為：2×2+2×1=6；

②把A（a，b）代入y=x2﹣3x，∴b=a2﹣3a，∴A（a，a2﹣3a），令y=0代入y=x2﹣3x，∴x=0或x=3，∴由題意知：0＜a＜3，∴AB=3a﹣a2，由①可知：A與D關于x=對稱，∴D的坐標為（3﹣a，a2﹣3a），∴AD=|3﹣a﹣a|=|3﹣2a|，分兩種情況討論：

當0＜a≤時，∴AD=3﹣2a，∴L=2（AB+AD）=﹣2a2+2a+6=﹣2（a﹣）2+，當a=時，L的最大值為，此時A的坐標為（，﹣）；

當＜a＜3時，∴AD=2a﹣3，∴L=2（AB+AD）==﹣2（a﹣）2+，當a=時，L的最大值為，此時A的坐標為（，﹣）．

綜上所述：L= ，當A的坐標為（，﹣）或（，﹣），L的最大值為．