Question

【題目】同學們都知道，|2-（-1）|表示2與-1的差的絕對值，實際上位可理解為在數軸上正數2對應的點與負數一1對應的點之間的距離，試探索：

(1)|2-（-1）|=______；如果|x-1|=2，則x=______．

(2)求|x-2|+|x-4|的最小值，并求此時x的取值范圍；

(3)由以上探素已知（|x-2|+|x+4|）（|y-1|+|y-6|）=10，求x+y的最大值與最小值；

(4)由以上探索及猜想，計算|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|的最小值．

Answer 1

【答案】(1)3，3或-1；(2)當-4≤x≤2時，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值為6；(3)x+y的最大值是5，最小值是-3；(4)當x=1009.5時，式子取得最小值，為509076．

【解析】

（1）根據絕對值的意義直接計算即可；
（2）把|x-2|+|x+4|理解為：在數軸上表示x到-4和2的距離之和，根據兩點間的距離公式，點在線段上，可得最小值，從而得結論；
（3）先確定x、y的取值范圍，再分類討論．
（4）觀察已知條件可以發現，|x-a|表示x到a的距離．要是題中式子取得最小值，則應該找出與最小數和最大數距離相等的x的值，此時式子得出的值則為最小值．

(1)|2-（-1）|=|2+1|=3，

|x-1|=2，

x-1=2或x-1=-2，

x=3或-1，

故答案為：3，3或-1；

(2)∵|x-2|+|x-4|理解為：在數軸上表示x到-4與2的距離之和，

∴當x在-4與2之間的線段上（即-4≤x≤2）時，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值為2-（-4）=6，此時x的取值范圍為：-4≤x≤2．

(3)因為x-2=0，x+4=0時，x=2或-4，y-1=0，y-6=0時，y=1或6．

當x＜-4時，|x-2|+|x+4|=2-x-x-4=-2x-2；當-4＜x＜2時，|x-2|+|x+4|=2-x+x+4=6；當x＞2時，|x-2|+|x+4|=x-2+x+4=2x+2；

當y＜1時，|y-1|+|y-6|=1-y+6-y=-2y+7；當1＜y＜6時，|y-1|+|y-6|=y-1+6-y=5；當y＞6時，|y-1|+|y-6|=y-1+y-6=2y-7；

當x＜-4，y＜1時，（-2x-2）（-2y+7）=10，

所以-2x+1-2y+1=8，即x+y=-3；-2x+1+3=8，即x=-4；-2x+1+2y-1=8，即x-y=-4；5-2y+1=8，即y=-1；5+3=8；5+2y-1=8，即y=2；2x-1-2y+1=8，即x-y=4；2x-1+3=8，即x=3；2x-1+2y-1=8，即x+y=5．

所以x+y的最大值是5，最小值是-3．

(4)由已知條件可知，|x-a|表示x到a的距離，只有當x到1的距離等于x到2018的距離時，式子取得最小值．

∴當x==1009.5時，式子取得最小值，

此時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|，

=|1009.5-1|+|1009.5-2|+|1009.5-3|+…+|1009.5-2016|+|1009.5-2017|+|1009.5-2018|，

=1008.5+1007.5+…+2.5+1.5，

=0.5×1008+（1+2+3…+1008），

=504+=504+508536，

=509076．