Question

【題目】已知拋物線，，直線．

（1）若該拋物線與軸交點的縱坐標為，求該拋物線的頂點坐標；

（2）證明：該拋物線與直線必有兩個交點；

（3）若該拋物線經過點，且對任意實數，不等式都成立；當時，該二次函數的最小值為．求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）該拋物線的頂點坐標為；（2）證明見解析；（3）直線l的解析式為y=－x+1或．

【解析】

(1)拋物線與軸交點的縱坐標為，即：，解得：，即可求解；

(2)聯立拋物線和直線的表達式得：x2-(k+3m)x-4=0，判斷，即可證明；

(3)分、、三種情況，分別求解即可．

(1)依題意可知，

則，

∴該拋物線對應的函數解析式為，

∴該拋物線的頂點坐標為．

(2)證明：將代入，

整理得：，

∵，，，

∴ [-(k+3m)]2-4×(-4)=(k+3m)2+16＞0，

∴該拋物線與直線l必有兩個交點；

(3)由拋物線經過點(t，-4)，且對任意實數x，不等式都成立，

得拋物線的最小值為-4．

∵

，

∴，

整理得3m2+2m-5=0，解得：m=1或

∵，

∴，舍去，

當m=1時，拋物線的解析式為，

此時拋物線的對稱軸為直線，

①當k＜1時，拋物線在上，函數值y隨x的增大而減小，

∴當x=k時，，

∴，

解得：或k=2(舍去)，

直線l的解析式為；

②當時，即，拋物線在上，，

∴，解得，

直線l的解析式為；

③當時，即時，拋物線在上，函數值y隨x的增大而增大，

∴當x=k-2時，=(k-2)2-2(k-2)-3，

∴(k-2)2-2(k-2)-3=-2k+1，

解得：k1=k2=2，

與k-2＞1矛盾，不符合題意，

綜上，直線l的解析式為y=-x+1或．