Question

【題目】已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直線l經過點A（不經過點B或點C），點C關于直線l的對稱點為點D，連接BD，CD．

（1）如圖1，

①求證：點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上；

②直接寫出∠BDC的度數（用含α的式子表示）為 ；

（2）如圖2，當α=60°時，過點D作BD的垂線與直線l交于點E，求證：AE=BD；

（3）如圖3，當α=90°時，記直線l與CD的交點為F，連接BF．將直線l繞點A旋轉的過程中，在什么情況下線段BF的長取得最大值？若AC=2a，試寫出此時BF的值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②α；（2）詳見解析；（3）當B、O、F三點共線時BF最長，(+)a

【解析】

（1）①由線段垂直平分線的性質可得AD=AC=AB，即可證點B，C，D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上；

②由等腰三角形的性質可得∠BAC=2∠BDC，可求∠BDC的度數；

（2）連接CE，由題意可證△ABC，△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，∠DCE=60°=∠ACB，CD=CE，根據“SAS”可證△BCD≌△ACE，可得AE=BD；

（3）取AC的中點O，連接OB，OF，BF，由三角形的三邊關系可得，當點O，點B，點F三點共線時，BF最長，根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可求，，即可求得BF

（1）①連接AD，如圖1．

∵點C與點D關于直線l對稱，

∴AC = AD．

∵AB= AC，

∴AB= AC = AD．

∴點B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．

②∵AD=AB=AC，

∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，

∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，

∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，

∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α

∴∠BDC=α

故答案為：α．

（2連接CE，如圖2．

∵∠BAC=60°，AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°，

∵∠BDC=α，

∴∠BDC=30°，

∵BD⊥DE，

∴∠CDE=60°，

∵點C關于直線l的對稱點為點D，

∴DE=CE，且∠CDE=60°

∴△CDE是等邊三角形，

∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD=AE，

（3）如圖3，取AC的中點O，連接OB，OF，BF，

，

F是以AC為直徑的圓上一點，設AC中點為O，

∵在△BOF中，BO+OF≥BF，

當B、O、F三點共線時BF最長；

如圖，過點O作OH⊥BC，

∵∠BAC=90°，AB=AC=2a，

∴，∠ACB=45°，且OH⊥BC，

∴∠COH=∠HCO=45°，

∴OH=HC，

∴，

∵點O是AC中點，AC=2a，

∴，

∴，

∴BH=3a，

∴，

∵點C關于直線l的對稱點為點D，

∴∠AFC=90°，

∵點O是AC中點，

∴，

∴，

∴當B、O、F三點共線時BF最長；最大值為(+)a．