Question

【題目】在我們學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)教科書(shū)中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，其具體操作過(guò)程是：

第一步：對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開(kāi)（如圖①）；

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線段（如圖②）．

如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

（Ⅰ）設(shè)直線的解析式為，求的值；

（Ⅱ）若的延長(zhǎng)線與矩形的邊交于點(diǎn)，設(shè)矩形的邊，；

（i）若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（ii）請(qǐng)直接寫出、應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）；（ii）．

【解析】

（Ⅰ）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可證為等邊三角形，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求得的值；

（Ⅱ）（i）在中，由三角形的性質(zhì)可求得的長(zhǎng)，則可求得的長(zhǎng)，可求得點(diǎn)坐標(biāo)；

（ii）由題意可知，在中，由三角函數(shù)的定義可用表示出，則可得到、所滿足的條件．

（Ⅰ）連接AN，延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)P，如圖，

∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折疊知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等邊三角形，
∵點(diǎn)M在直線上，

∴；

（Ⅱ）（i）由題意可知，

在中，，

∴，解得，

∴，

∴；

（ii）由題意可知，

在中，，，

∴，

∴，

∴．