Question

【題目】閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE=AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．

（1）問題解決：受到（1）的啟發，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．

①求證：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明；

（2）問題拓展：如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯結EF、CF，那么下列結論①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．中一定成立是 （填序號）.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②BE2+CF2=EF2；(2)①②④.

【解析】試題分析：（1）①可按閱讀理解中的方法構造全等，把CF和BE轉移到一個三角形中，利用三角形的三邊關系求解即可；②由∠A=90°，可得∠EBC+∠FCB=90°，由①中的全等得到∠C=∠CBG；即可得∠ABC+∠CBG =90°，即∠EBG=90°，由此可得可得三邊之間存在勾股定理關系；（2）①在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，可得AF=FD=CD，即可得∠DFC=∠DCF；再由AD∥BC，根據平行線的性質可得∠DFC=∠FCB，所以∠DCF=∠BCF，根據角平分線的定義可得∠DCF=∠BCD，①正確；②延長EF，交CD延長線于M，根據已知條件易證△AEF≌△DMF，根據全等三角形的性質可得FE=MF，∠AEF=∠M，又因CE⊥AB，可得∠AEC=90°，所以∠AEC=∠ECD=90°，因FM=EF，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得FC=FM，②正確；③由EF=FM可得S△EFC=S△CFM，又因MC＞BE，即可得S△BEC＜2S△EFC，所以S△BEC=2S△CEF錯誤，即③錯誤；④設∠FEC=x，則∠FCE=x，所以∠DCF=∠DFC=90°﹣x，根據三角形外角的性質可得∠EFC=180°﹣2x，所以∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，再由∠AEF=90°﹣x，即可得∠DFE=3∠AEF，④正確．

試題解析：

延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），

∵BD=CD,∠BDG=∠CDF，

∴△BDG≌△CDF,

∴CF=BG，

∵DE⊥DF，DF=DG，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，

由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，

∴BE2+CF2=EF2；

（2）①∵F是AD的中點，

∴AF=FD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此選項正確；

②延長EF，交CD延長線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中， ，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正確；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF錯誤；

④設∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，

∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，

∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此選項正確．

故正確答案為：①②④.