Question

【題目】四邊形中，，，的頂點在上，交直線于點．

（1）如圖1，若，，連接，求的長．

（2）如圖2，，當時，求證：是的中點；

（3）如圖3，若，對角線，交于點，點關于的對稱點為點，連接交于點，連接、、，求的長，請直接寫出答案．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）先證明，求出，，利用Rt中，求出，再利用等腰直角三角形的性質求出DF的長；

（2）在上取點，使，連接，得到為等邊三角形，再證明得到，根，求出，故可得到，即可證明；

（3）先利用，得到平行四邊形為矩形，設與交點為，根據對稱性得到OD垂直平分CC’，根據等積法求出CM，利用勾股定理求出OM，再根據中位線的性質求出AC’，利用平行線證明，得到，再根據AD=8，進而求出AG的長．

（1）∵

∴∠C=180°-∠B=90°，∠FEB+∠EFB=∠FEB+∠DEC=90°，

∴∠EFB=∠DEC

又

∴，

∴

∵

∴，

在Rt中，

∵，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴；

（2）證明：如圖2，在上取點，使，連接，則為等邊三角形，

∴，

∴．

∵四邊形為平行四邊形，，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴

∵

∴

∴，，

∴是的中點．

（3）解：由題意得，為線段的垂直平分線，設與交點為

∵，

∴平行四邊形為矩形，

∴，，，

∴．

∵點為的中點，點為的中點，

∴，且，

∴，

∴，

∴．