Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，0)．如圖1，正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第二象限．現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α=60°,OE=OA，求直線EF的函數(shù)表達(dá)式．

（2）若α為銳角，tan=，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，求正方形OEFG的面積．

（3）當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P，△OEP的其中兩邊之比能否為？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）P1(0,6)，P2(－6,18)，P3(－18,36)，P4(－6,0)，P5(－18,6)．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，易知△AEO為正三角形，E點(diǎn)坐標(biāo)為E(﹣3,3)。在RT△EMO中用三角函數(shù)可求得M坐標(biāo)，直線EF解析式即可求出．（2）無(wú)論正方形邊長(zhǎng)為多少，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上，∴當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最小，利用勾股定理可求得OE的長(zhǎng)度，進(jìn)而面積可求．（3）此題應(yīng)分類(lèi)討論，當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時(shí)與負(fù)半軸兩大類(lèi)討論．當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時(shí)，①當(dāng)P與F重合時(shí)，△PEO是等腰直角三角形，此時(shí)易求P點(diǎn)坐標(biāo)為（0,6），②點(diǎn)P在邊FG延長(zhǎng)線 上時(shí)，

存在和兩種情況，利用圖形可求得此時(shí)P坐標(biāo)為（-6,18），（-18,36）．當(dāng)點(diǎn)F落在y軸付半軸時(shí)，①P與A重合時(shí)，易求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-6,0），②當(dāng)P在FG延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖7，過(guò)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R, 在Rt△OPG和Rt△PEF中，利用勾股定理可得到PG與OG的關(guān)系，PG=2OG，再根據(jù)△AOE∽△ANP可求得AN=6，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)（-18,6）．

試題解析：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，EF與y軸的交點(diǎn)為M．∵OE＝OA，α＝60°，∴△AEO為正三角形，∴OH＝3，EH＝＝3． ∴E(﹣3,3)．∵∠AOM＝90°，∴∠EOM＝30°．在Rt△EOM中，∵cos∠EOM＝ ，即＝ ，∴OM＝4．∴M(0，4)．設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋4， ∵該直線過(guò)點(diǎn)E(﹣3,3), ∴-3k+4=3,解得，所以，直線EF的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）如圖2，射線OQ與OA的夾角為α( α為銳角，tan=)．無(wú)論正方形邊長(zhǎng)為多少，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上，∴當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最小．在Rt△AOE中，設(shè)AE＝a，則OE＝2a，∴a2＋(2a)2＝62，解得a1＝，a2＝－(舍去),∴OE＝2a＝, ∴S正方形OEFG＝OE2=．

（3）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m．當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時(shí)．如圖3，當(dāng)P與F重合時(shí)，△PEO是等腰直角三角形，有或．在Rt△AOP中，∠APO＝45°，OP=OA=6,∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,6)．在圖3的基礎(chǔ)上，當(dāng)減小正方形邊長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為:1；當(dāng)增加正方形邊長(zhǎng)時(shí)，存在（圖4）和（圖5）兩種情況．如圖4，△EFP是等腰直角三角形，有＝，即＝, 此時(shí)有AP∥OF．在Rt△AOE中，∠AOE＝45°，∴OE=OA＝6,∴PE＝OE＝12，PA=PE+AE=18,∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－6,18)．如圖5，過(guò)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，延長(zhǎng)PG交x軸于點(diǎn)H．設(shè)PF=n．在Rt△POG中，PO2＝PG2＋OG2＝m2＋(m＋n) 2＝2m2＋2mn＋n2，在Rt△PEF中，PE2＝PF2＋EF2＝m 2＋n 2,當(dāng)＝時(shí)，∴PO2＝2PE2． ∴2m2＋2mn＋n2=2(m 2＋n 2), 得n＝2m．∵EO∥PH，∴△AOE∽△AHP,∴,∴AH=4OA=24，即OH=18，∴m=9．在等腰Rt△PR H中，，∴OR=RH-OH=18，∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(－18,36)．當(dāng)點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時(shí)，如圖6，P與A重合時(shí)，在Rt△POG中，OP＝OG， 又∵正方形OGFE中，OG=OE, ∴OP＝OE．∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(－6,0)．在圖6的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形邊長(zhǎng)減小時(shí)，△OEP的其中兩邊之比不可能為:1；當(dāng)正方形邊長(zhǎng)增加時(shí)，存在（圖7）這一種情況．如圖7，過(guò)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R,設(shè)PG=n．在Rt△OPG中，PO2=PG2＋OG2＝n2＋m2，在Rt△PEF中，PE2＝PF2＋FE2＝(m+n ) 2＋m2＝2m2＋2mn＋n2．當(dāng)＝時(shí)，∴PE2＝2PO2．∴2m2＋2mn＋n 2＝2n2＋2m2 ∴n=2m,由于NG=OG=m,則PN=NG=m,∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP, ∴,即AN=OA=6．在等腰Rt△ONG中，ON=m, ∴12=m， ∴m=6,在等腰Rt△PRN中，，∴點(diǎn)P5的坐標(biāo)為(－18,6)．所以，△OEP的其中兩邊的比能為:1，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P1(0,6)，P2(－6,18)，P3(－18,36)，P4(－6,0)，P5(－18,6)．