Question

【題目】已知：△ABC是等邊三角形，點D是△ABC（包含邊界）平面內一點，連接CD，將線段CD繞C逆時針旋轉60°得到線段CE，連接BE，DE，AD，并延長AD交BE于點P．

（1）觀察填空：當點D在圖1所示的位置時，填空：

①與△ACD全等的三角形是______．

②∠APB的度數為______．

（2）猜想證明：在圖1中，猜想線段PD，PE，PC之間有什么數量關系？并證明你的猜想．

（3）拓展應用：如圖2，當△ABC邊長為4，AD=2時，請直接寫出線段CE的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①△BCE；②60°；（2）PD+PE=PC，證明見解析；（3）CE的最大值為6．

【解析】

（1）①根據旋轉的性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的判定證明即可；

②根據全等三角形的判定和性質以及三角形內角和解答即可；

（2）根據等邊三角形的性質以及全等三角形的判定和性質解答即可；

（3）由（1）可得CE=CD，根據D點在線段AC上，CD長度最小；D點在CA的延長線上，CD的長度最大，求出CD的最大值即可求得線段CE的最大值．

（1）①如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，

∵將線段CD繞C順時針旋轉60°得到線段CE，

∴CE=CD，∠DCE=60°，

∴△DCE是等邊三角形，

∴∠DCE═60°，

∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

故答案為：△BCE．

②∵△ACD≌△BCE，

∴∠EBC=∠DAC，

∵∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，

∴∠PBC+∠BAD=60°，

∴∠APB=180°-∠ABC+∠PBC+∠BAP=180°-60°-60°=60°；

故答案為：60°．

（2）結論：PD+PE=PC．

理由：∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD，

∵∠CAD+∠BAD=60°，∠BAD+∠DBC=60°，

∴∠BAD+∠ABD=∠BDP=60°，

∵∠APB=60°，

∴△BDP是等邊三角形，

∴DP=BP，

∴PD+PE=BE，

∵△ADC≌△BEC，

∴AD=BE，

∵在△ABD與△CBP中

，

∴△ABD≌△CBP（SAS），

∴AD=PC，

∴PD+PE=PC；

（3）如圖2中，

∵AC=4，AD=2，

∴D點在線段AC上，CD長度最小；D點在CA的延長線上，CD的長度最大，

∴4-2≤CD≤4+2，

∴2≤CD≤6．

∴CD的最大值為6，

由（1）可知△ACD≌△BCE，EC=CD，

∴EC的最大值為6．