Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，過點A作AD⊥AB交⊙O于點D，交BC于點E,點F在DA的延長線上，且∠ABF＝∠C ．

（1）求證：BF是⊙O的切線；

（2）若AD＝4，cos∠ABF=，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）根據AD⊥AB，可得DB是⊙O的直徑，進而得到根據圓周角定理，可得∠ABF=∠C=∠D，最后根據∠D+∠ABD=90°，可得OB⊥BF，即BF是⊙O的切線；

（2）根據AC=AB，可得∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，進而在△ABD中，求得BD=5，根據勾股定理可得AB==3，最后在△ABG中，根據∠AGB=90°，AD=4，求得BG=AB×cos∠2=，即可得到BC的長．

試題解析：（1）證明：如圖，連接BD

∵AD⊥AB，

∴DB是⊙O的直徑，

∴∠D+∠ABD=90°，

又∵∠D=∠C，∠ABF=∠C，

∴∠ABD+∠ABF=90°，

∴OB⊥BF，

∴BF是⊙O的切線；

（2）如圖，連接OA，交BC于點G，

∵AC=AB，

∴弧AC=弧AB

∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，

∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=，

在△ABD中，∠DAB=90°，

∴BD==5，

∴AB==3，

在△ABG中，∠AGB=90°，AD=4，

∴BG=AB×cos∠2=，

∴BC=2BG=．