Question

已知：如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋2與x軸的交點是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點是C．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）設P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．
①當x取何值時，線段PQ長度取得最大值？其最大值是多少?
②是否存在點P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）①x＝3，1；②P（3，0）或或．

試題分析：（1）由拋物線過A（3，0），B（6，0）即可根據待定系數法列方程組求解；
（2）①先求得拋物線與y軸的交點C的坐標，再求得直線BC的函數表達式，即可表示出線段PQ的長關于x的函數關系式，再根據二次函數的性質求解即可；
②當時，點P與點A重合，則P（3，0） ；當時，點P與點C重合，則x＝0（不合題意）；當時，設PQ與軸交于點D，先根據同角的余角相等證得△ODQ∽△QDA，根據相似三角形的性質可得，即可得到關于x的方程，從而求得結果．
（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴，解得：
∴拋物線函數表達式是；
（2）①∵當x＝0時，y＝2，
∴點C的坐標為（0，2）．
設直線BC的函數表達式是，
則有，解得，
∴直線BC的函數表達式是y＝ 
∵0＜x＜6，
∴PQ＝－（）＝＝．
∴當x＝3時，線段PQ的長度取得最大值1；
②當時，點P與點A重合，∴P（3，0）
當時，點P與點C重合，∴x＝0（不合題意）
當時，設PQ與軸交于點D．  
，
．
又
∴△ODQ∽△QDA．
∴，即．
∴，，
∴． 
∴．
∴或．
∴所求的點P的坐標是P（3，0）或或．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．