Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知（b、c為常數）的頂點為P，等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），點C的坐標為（4，3），直角頂點B在第四象限．

（1）如圖，若拋物線經過A、B兩點，求拋物線的解析式．
（2）平移1中的拋物線，使頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離為時，試證明：平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點．
（3）在2的情況下，若沿AC方向任意滑動時，設拋物線與直線AC的另一交點為Q，取BC的中點N，試探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0，﹣1），C的坐標為（4，3）

∴點B的坐標為（4，﹣1）．

∵拋物線過A（0，﹣1），B（4，﹣1）兩點，

∴，

解得：b=2，c=﹣1，

∴拋物線的函數表達式為：.

（2）

如答題圖2，設頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離時，到達P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點，

∵點A的坐標為（0，﹣1），點C的坐標為（4，3），

∴直線AC的解析式為y=x﹣1，

∵直線的斜率為1，

∴△P′PM是等腰直角三角形，

∵PP′=，

∴P′M=PM=1，

∴拋物線向上平移1個單位，向右平移1個單位，

∵=，

∴平移后的拋物線的解析式為，

令y=0，則0=，

解得x1=1，x=52，

∴平移后的拋物線與x軸的交點為（1，0），（5，0），

解，得或

∴平移后的拋物線與AC的交點為（1，0），

∴平移后的拋物線與直線AC交于x軸上的同一點（1，0）．

（3）

如答圖3，取點B關于AC的對稱點B′，易得點B′的坐標為（0，3），BQ=B′Q，取AB中點F，

連接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，

∴四邊形PQFN為平行四邊形．

∴NP=FQ．

∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．

∴當B′、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小值為．

【解析】（1）先求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的函數表達式；
（2）如答題圖2，設頂點P在直線AC上并沿AC方向滑動距離時，到達P′，作P′M∥y軸，PM∥x軸，交于M點，根據直線AC的斜率求得△P′PM是等腰直角三角形，進而求得拋物線向上平移1個單位，向右平移1個單位，從而求得平移后的解析式，進而求得與x軸的交點，與直線AC的交點，即可證得結論；
（3）如答圖3所示，作點B關于直線AC的對稱點B′，由分析可知，當B′、Q、F（AB中點）三點共線時，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長度．