Question

如圖，已知半圓O的直徑DE=12cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上．設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm．
（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？
（2）當△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直線DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）隨著半圓的運動分四種情況：①當點E與點C重合時，AC與半圓相切，②當點O運動到點C時，AB與半圓相切，③當點O運動到BC的中點時，AC再次與半圓相切，④當點O運動到B點的右側時，AB的延長線與半圓所在的圓相切．分別求得半圓的圓心移動的距離后，再求得運動的時間．
（2）在1中的②，③中半圓與三角形有重合部分．在②圖中重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，故可根據扇形的面積公式求解．在③圖中，所求重疊部分面積為=S_△POB+S_扇形DOP．
解答：解：（1）①如圖，當點E與點C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了2cm，所求運動時間為：t==1（s）
②如圖，當點O運動到點C時，過點O作OF⊥AB，垂足為F．
在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=12cm，則OF=6cm，即OF等于半圓O的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了8cm，所求運動時間為：t==4（s）
③如圖，當點O運動到BC的中點時，AC⊥OD，OC=OD=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了14cm，所求運動時間為：t==7（s）．
④如圖，當點O運動到B點的右側，且OB=12cm時，過點O作OQ⊥AB，垂足為Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，則OQ=6cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，
所以直線AB與半圓O所在的圓相切．此時點O運動了32cm，所求運動時間為：t==16（s）．

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分的只有如圖②與③所示的兩種情形．
①如圖②，設OA與半圓O的交點為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，所求重疊部分面積為：S_扇形EOM=π×6²=9π（cm²）
②如圖③，設AB與半圓O的交點為P，連接OP，過點O作OH⊥AB，垂足為H．
則PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm
則OH=3cm，BH=3cm，BP=6cm，S_△POB=×6×3=9（cm²）
又因為∠DOP=2∠DBP=60°
所以S_扇形DOP==6π（cm²）
所求重疊部分面積為：S_△POB+S_扇形DOP=9+6π（cm²）

點評：本題利用了直線與圓相切的概念，扇形的面積公式，直角三角形的面積公式，銳角三角函數的概念求解．