Question

（2008•黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O為原點建立平面直角坐標系，A，B，C三點的坐標分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點D為線段BC的中點，動點P從點O出發，以每秒1個單位的速度，沿折線OABD的路線移動，移動的時間為t秒．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若動點P在線段OA上移動，當t為何值時，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；
（3）動點P從點O出發，沿折線OABD的路線移動過程中，設△OPD的面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式，并指出自變量t的取值范圍；
（4）試探究：當動點P在線段AB上移動時，能否在線段OA上找到一點Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時動點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據點B，C的坐標，用待定系數法來求出直線BC的解析式；
（2）可先計算出梯形面積的，也就求出了四邊形COPD的面積．有OC的長，D是BC的中點，如果過D作梯形的中位線，可求出三角形OCD中，OC邊上的高應該是4，由此可求出三角形OCD的面積，也就能表示出OPD的面積，然后再用OP的值表示出三角形OPD的面積，得出關于t的方程，即可求出此時t的值；
（3）本題要分三種情況進行討論：
①當P在OA上時，即0＜t＜8時，如果過D作OA的垂線DE，垂直為E，那么DE就是梯形的中位線，即DE=7，要表示三角形OPD的面積，還需知道OP的長，可以根據P點的速度，用時間t表示出OP，這樣可根據三角形的面積公式求出關于S，t的函數關系式．

②當P在AB上時，即8≤t＜18時，三角形OPD的面積可以用四邊形OAPD的面積-三角形OAP的面積來表示，而四邊形OAPD的面積可分成梯形DEAP和三角形OED兩部分來求，而OE，AE，DE，AB都是定值，因此可求出四邊形OAPD的面積，三角形OAP中，可用t表示出AP的長，進而可用t表示出三角形OAP的面積，然后根據三角形OPD的面積S=四邊形OAPD的面積-三角形OAP的面積，即可得出關于S，t的函數關系式；
③當P在BD上時，即18＜t＜23時，三角形OPD的面積可用三角形OCP的面積-三角形OCD的面積來求，三角形OPC中，可過P作OC的垂線PH，可根據AB∥OC，得出∠BCH的正弦值，然后用t表示出CP，那么在直角三角形OPH中可以求出OC邊上的高PH的表達式，那么就能表示出三角形OPC的面積，三角形OCD中，OC的值已知，而OC邊上的高就是OE，那么也可求出三角形OCD的面積，然后可根據三角形OPD的面積=三角形OPC的面積-三角形OCD的面積來求出關于S，t的函數關系式；

（4）先假設存在這樣的點P，那么四邊形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此時t的值，首先就要求出AP的長，根據∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不難得出三角形AQP與三角形DPB相似，那么可得出關于BD，BP，AP，QP的比例關系，而BD，QP的長已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此時AP，PB的長，然后判定一下此時四邊形QPDC是矩形的結論是否成立，如果成立可根據AP的長求出t的長．
解答：解：（1）設BC所在直線的解析式為y=kx+b，
因為直線BC過B（8，10），C（0，4）兩點，可得：
，
解得k=，b=4，
因此BC所在直線的解析式是y=x+4；

（2）過D作DE⊥OA，
則DE為梯形OABC的中位線，OC=4，AB=10，
則DE=7，又OA=8，得S_梯形OABC=56，
則四邊形OPDC的面積為16，S_△COD=8，
∴S_△POD=8，
即•t×7=8，
得t=；

（3）分三種情況
①0＜t≤8，（P在OA上）
S_三角形OPD=t
②8＜t≤18，（P在AB上）
S_三角形OPD=S_梯形OCBA-S_三角形OCD-S_三角形OAP-S_三角形PBD
=56-8-4（t-8）-2（18-t）=44-2t
（此時AP=t-8，BP=18-t）
③過D點作DM垂直y軸與M點
∴CM=3，DM=4，CD=5，
∴∠BCH的正弦值為
CP長為28-t
∴PH=22.4-0.8t
S_三角形OPD=S_三角形OPC-S_三角形ODC
=×4（22.4-0.8t）-8
=-t；

（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，
則CM=OA=8，AM=OC=4，
∴MB=6．
∴在Rt△BCM中，BC=10，
∴CD=5，
若四邊形CQPD為矩形，則PQ=CD=5，
且PQ∥CD，
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，
設BP=x，則PA=10-x，
∴，
化簡得x²-10x+25=0，x=5，即PB=5，
∴PB=BD，這與△PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形．
點評：本題主要考查了梯形的性質，矩形的判定，相似三角形的判定和性質以及一次函數的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據P點的不同位置進行分類求解．