Question

【題目】如圖，已知等邊的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點(與點A、B不重合)，直線是經過點P的一條直線，把沿直線折疊，點B的對應點是點.

(1)如圖1，當時，若點恰好在AC邊上，則的長度為　　　　；

(2)如圖2，當時，若直線，則的長度為　　　　；

(3)如圖3，點P在AB邊上運動過程中，若直線始終垂直于AC，的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；

(4)當時，在直線變化過程中，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）長度為4；（2）長度為5；（3）△的面積不變化為16，理由見解析；（4）△的面積的最大值為24+4，理由見解析.

【解析】

（1）連接，由于折疊則△為等邊三角形，即可求出的長度；（2）記與BC交于點D，連接和，△BPD和△為邊長等于5的等邊三角形，所以為兩邊長為5的等邊三角形的高之和，求出即可；（3）因為⊥AC， ∥，則到AC的距離始終等于B到AC的距離（平行線之間的距離處處相等），的面積和△ABC的面積相等，算出即可；（4）由題意知=PB=6,所以始終在以P點為圓心，6為半徑的圓上運動，要使得△面積最大，只要AC邊上的高最大，如圖，當經過圓心P時，最大，算出其面積即可.

（1）連接，

∵等邊的邊長為8，PB=4，

∴AP==4，∠PAC=60°，

∴△為等邊三角形，

∴=4；

（2）記與BC交于點D，連接和，

∵∥BC，=BP=5，

∴△BPD為邊長等于5的等邊三角形，

所以PD==5，∠=∠BPD=60°，

∴△為邊長等于5的等邊三角形，

由折疊知⊥，

∴為兩邊長為5的等邊三角形的高之和，

則=；

（3）△的面積不變化，理由如下：

∵⊥AC， ∥，

∴到AC的距離始終等于B到AC的距離（平行線之間的距離處處相等），

∴S△ACB’=S△ABC=×82=；

（4）由題意知=PB=6,所以始終在以P點為圓心，6為半徑的圓上運動，要使得△面積最大，只要AC邊上的高最大，如圖，當經過圓心P時最大，

∵∠BAC=60°，

∴AE=AP=1，PE=AE=，=+6，

此時S△ACB’的最大值為×AC×=×8×（+6）=+24