Question

（2013•杭州）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱，設它們的面積和為S₁．
（1）求證：∠APE=∠CFP；
（2）設四邊形CMPF的面積為S₂，CF=x，y=

S1

S2

．
①求y關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；
②當圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱時，求y的值．

Answer 1

分析：（1）利用正方形與三角形的相關角之間的關系可以證明結論；
（2）本問關鍵是求出y與x之間的函數解析式．
①首先分別用x表示出S₁與S₂，然后計算出y與x的函數解析式．這是一個二次函數，求出其最大值；
②注意中心對稱、軸對稱的幾何性質．

解答：（1）證明：∵∠EPF=45°，
∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°；
而在△PFC中，由于PC為正方形ABCD的對角線，則∠PCF=45°，
則∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°，
∴∠APE=∠CFP．

（2）解：①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=45°，
∴△APE∽△CFP，則

AP

CF

=

AE

PC

．
而在正方形ABCD中，AC為對角線，則AC=

2

AB=4

2

，
又∵P為對稱中心，則AP=CP=2

2

，
∴AE=

AP•PC

CF

=

2 2 •2 2

x

=

8

x

．
如圖，過點P作PH⊥AB于點H，PG⊥BC于點G，

P為AC中點，則PH∥BC，且PH=

1

2

BC=2，同理PG=2．
S_△APE=

1

2

PH•AE=

1

2

×2×

8

x

=

8

x

，
∵陰影部分關于直線AC軸對稱，
∴△APE與△APN也關于直線AC對稱，
則S_{四邊形AEPN}=2S_△APE=

16

x

；
而S₂=2S_△PFC=2×

PG•CF

2

=2x，
∴S₁=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形AEPN}-S₂=16-

16

x

-2x，
∴y=

S1

S2

=

16- 16 x -2x

2x

=-

8

x2

+

8

x

-1．
∵E在AB上運動，F在BC上運動，且∠EPF=45°，
∴2≤x≤4．
令

1

x

=a，則y=-8a²+8a-1，當a=-

8

-2×8

=

1

2

，即x=2時，y取得最大值．
而x=2在x的取值范圍內，代入x=2，則y_最大=4-2-1=1．
∴y關于x的函數解析式為：y=-

8

x2

+

8

x

-1（2≤x≤4），y的最大值為1．
②圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱，
而此兩塊圖形也關于直線AC成軸對稱，則陰影部分圖形自身關于直線BD對稱，
則EB=BF，即AE=FC，
∴

8

x

=x，解得x=2

2

，
代入x=2

2

，得y=2

2

-2．

點評：本題是代數幾何綜合題，考查了正方形的性質、相似三角形、二次函數的解析式與最值、幾何變換（軸對稱與中心對稱）、圖形面積的計算等知識點，涉及的考點較多，有一定的難度．本題重點與難點在于求出y與x的函數解析式，在計算幾何圖形面積時涉及大量的計算，需要細心計算避免出錯．