Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），交y軸于點C，過點C作CD∥x軸，交拋物線于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線y=m（﹣3＜m＜0）與線段AD、BD分別交于G、H兩點，過G點作EG⊥x軸于點E，過點H作HF⊥x軸于點F，求矩形GEFH的最大面積；

（3）若直線y=kx+1將四邊形ABCD分成左、右兩個部分，面積分別為S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）

【解析】（1）利用待定系數法即可得出結論；

（2）先利用待定系數法求出直線AD，BD的解析式，進而求出G，H的坐標，進而求出GH，即可得出結論；

（3）先求出四邊形ADNM的面積，再求出直線y=kx+1與線段CD，AB的交點坐標，即可得出結論．

（1）∵拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x-3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=x2+2x-3，

∴C（0，-3），

∴x2+2x-3=-3，

∴x=0或x=-2，

∴D（-2，-3），

∵A（-3，0）和點B（1，0），

∴直線AD的解析式為y=-3x-9，直線BD的解析式為y=x-1，

∵直線y=m（-3＜m＜0）與線段AD、BD分別交于G、H兩點，

∴G（-m-3，m），H（m+1，m），

∴GH=m+1-（-m-3）=m+4，

∴S矩形GEFH=-m（m+4）=-（m2+3m）=-（m+）2+3，

∴m=-，矩形GEFH的最大面積為3．

（3）∵A（-3，0），B（1，0），

∴AB=4，

∵C（0，-3），D（-2，-3），

∴CD=2，

∴S四邊形ABCD=×3（4+2）=9，

∵S1：S2=4：5，

∴S1=4，

如圖，

設直線y=kx+1與線段AB相交于M，與線段CD相交于N，

∴M（-，0），N（-，-3），

∴AM=-+3，DN=-+2，

∴S1=（-+3-+2）×3=4，

∴k=