Question

【題目】如圖1，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，點E是AB上一點，點F是AD延長線上一點，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF；
（2）在圖1中，如果點G在AD上，且∠GCE=45°，那么EG=BE+DG是否成立，請說明理由．

（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖2，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，點E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在△CBE和△CDF中，

，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF；

（2）

解：EG=BE+DG成立，

∵△CBE≌△CDF，

∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，BE=DF，

∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=45°，

∴∠DCF+∠DCG=45°，即∠FCG=45°，

∴∠FCG=∠GCE，

在△ECG和△FCG中，

，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF，

∴EG=BE+DG；

（3）

作CF⊥AD交AD的延長線于F，

由（2）得，DE=BE+DF，

設DE=x，

∵AB=12，BE=4，

∴AE=8，

∴DF=x﹣4，AD=12﹣（x﹣4）=16﹣x，

由勾股定理得，82+（16﹣x）2=x2，

解得，x=10，

∴DE的長為10．

【解析】（1）證明△CBE≌△CDF，根據全等三角形的性質證明；（2）根據全等三角形的性質得到CE=CF，∠BCE=∠DCF，BE=DF，證明△ECG≌△FCG，根據全等三角形的性質解答；（3）根據（2）的結論和勾股定理計算即可．