Question

【題目】在四邊形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．

（1）求點B的坐標；

（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD=5，OE=2EB，直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；

（3）點M在（2）中直線DE上，四邊形ODMN是菱形，求N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（3，6）；（2）y=﹣x+5；（3）N的坐標為（﹣2，）．

【解析】

試題分析：（1）作BH⊥OA于H，根據矩形的性質求出OH的長，根據勾股定理求出BH的長，得到點B的坐標；

（2）作EG⊥OA于G，得到△OGE∽△OHB，根據題意和相似三角形的性質求出點E、D的坐標，運用待定系數法求出直線DE的解析式；

（3）作MP⊥y軸于點P，得到△MPD∽△FOD，根據相似三角形的性質和勾股定理計算即可．

解：如圖1，作BH⊥OA于H，則四邊形OHBC為矩形，

∴OH=CB=3，

∴AH=OA﹣OH=3，

∴BH==6，

∴點B的坐標為（3，6）；

（2）如圖1，作EG⊥OA于G，則EG∥BH，

∴△OGE∽△OHB，

∴==，

∵OE=2EB，

∴=，又OH=3，BH=6，

∴OG=2，EG=4，

∴點E的坐標為（2，4），

∵OC=BH=6，OD=5，

∴點D的坐標為（0，5），

設直線DE的解析式為y=kx+b，

∴，

解得，，

∴直線DE的解析式為y=﹣x+5；

（3）如圖2，作MP⊥y軸于點P，

∵四邊形ODMN是菱形，

∴DM=MN=NO=OD=5，

∵MP∥OA，

∴△MPD∽△FOD，

∴==，

當y=0，即﹣x+5=0時，x=10，

∴點F的坐標為（0，10），

∴DF==5，

∴==，

解得，MP=2，PD=，

∴OP=5+，

∴N的坐標為（﹣2，）．