Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOB中，根據AB的長和∠BOA的度數，可求得OA的長，根據折疊的性質即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，過C作CD⊥x軸于D，即可根據∠COD的度數和OC的長求得CD、OD的值，從而求出點C的坐標．
（2）將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組即可求出待定系數的值，從而確定該拋物線的解析式．
（3）根據（2）所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標（即C點），設直線MP與x軸的交點為N，且PN=t，在Rt△OPN中，根據∠PON的度數，易得PN、ON的長，即可得到點P的坐標，然后根據點P的橫坐標和拋物線的解析式可求得M點的縱坐標，過M作ME⊥CD（即拋物線對稱軸）于E，過P作PQ⊥CD于Q，若四邊形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根據C、M、P、D四點縱坐標，易求得CE、QD的長，聯立兩式即可求出此時t的值，從而求得點P的坐標．

解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2

3

；
由折疊的性質知：∠COB=30°，OC=AO=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3；
∴C點坐標為（

3

，3）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C（

3

，3）、A（2

3

，0）兩點，
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

，
解得

a=-1 b=2 3

；
∴此拋物線的函數關系式為：y=-x²+2

3

x．

（3）存在．
∵y=-x²+2

3

x的頂點坐標為（

3

，3），
即為點C，MP⊥x軸，垂足為N，設PN=t；
∵∠BOA=30°，
∴ON=

3

t，
∴P（

3

t，t）；
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E；
把x=

3

t代入y=-x²+2

3

x，
得y=-3t²+6t，
∴M（

3

t，-3t²+6t），E（

3

，-3t²+6t），
同理：Q（

3

，t），D（

3

，1）；
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t=

4

3

，t=1（舍），
∴P點坐標為（

4

3

3

，

4

3

），
∴存在滿足條件的P點，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點坐標為（

4

3

3

，

4

3

）．

點評：此題主要考查了圖形的旋轉變化、解直角三角形、二次函數解析式的確定、等腰梯形的判定和性質等重要知識點，難度較大．