Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為，對稱軸公式為x=-．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形BOA中，根據AB的長和∠AOB的度數，求出OA的長．根據折疊的性質可知：OC=OA，∠COA=60°，過C作x軸的垂線，即可用三角形函數求出C點的坐標；
（2）根據（1）求出的A，C點的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（3）根據等腰梯形的性質，如果過M，P兩點分別作底的垂線ME和PQ，那么CE=PQ，可先設出此時P點的坐標，然后表示出M點的坐標，CE就是C點縱坐標與M點縱坐標的差，QD就是P點縱坐標和D點縱坐標的差．由此可得出關于P點橫坐標的方程，可求出P點的橫坐標，進而可求出P點的坐標．
解答：解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=
由折疊知，∠COB=30°，OC=OA=
∴∠COH=60°，OH=，CH=3
∴C點坐標為（，3）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過C（，3）、A（，0）兩點，
∴，
解得：，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+2x．
解法一：（3）存在．
因為的頂點坐標為（，3）
所以頂點坐標為點C（8分）
作MP⊥x軸，垂足為N，
設PN=t，因為∠BOA=30°，
所以ON=t
∴P（t，t）（9分）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把t代入
得：y=-3t²+6t
∴M（t，-3t²+6t），E（，-3t²+6t）（10分）
同理：Q（，t），D（，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD（這時△PQD≌△MEC）
即3-（-3t²+6t）=t-1，解得：，t₂=1（不合題意，舍去）（11分）
∴P點坐標為（，）（12分）
∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）；
解法二：

（3）存在．
由（2）可得：=得頂點坐標為（，3），
即點C恰好為頂點；（8分）
設MP交x軸于點N，
∵MP∥y軸，CH為拋物線的對稱軸
∴MP∥CD且CM與DP不平行
∴四邊形CDPM為梯形
若要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°，則∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°，
∴∠MCD=∠BCD，
∴此時點M為拋物線與線段CB所在直線的交點（9分）
設BC的解析式為y=mx+n
由（2）得C（，3）、B（，2）
∴
解得：
∴直線BC的解析式為（10分）
由
得，
∴ON=（11分）
在Rt△OPN中，tan∠PON=得
∴P點坐標為（，）（12分）
∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐標為（，）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形翻折變換、三角形全等、等腰梯形的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．