Question

把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當的剪裁，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）．
（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子．
①要使折成的長方形盒子的底面積為484cm²，那么剪掉的正方形的邊長為多少？
②折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由．
（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為550cm²，求此時長方形盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）．

Answer 1

（1）①設剪掉的正方形的邊長為xcm．
則（40-2x）²=484，
即40-2x=±22，
解得x₁=31（不合題意，舍去），x₂=9，
∴剪掉的正方形的邊長為9cm．
②側面積有最大值．
設剪掉的小正方形的邊長為acm，盒子的側面積為ycm²，
則y與a的函數關系為：y=4（40-2a）a，
即y=-8a²+160a，
即y=-8（a-10）²+800，
∴a=10時，y_最大=800．
即當剪掉的正方形的邊長為10cm時，長方形盒子的側面積最大為800cm²．

（2）在如圖的一種剪裁圖中，設剪掉的長方形盒子的高為xcm．
2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550，
解得：x₁=-35（不合題意，舍去），x₂=15．
∴剪掉的長方形盒子的高為15cm．
40-2×15=10（cm），
20-15=5（cm），
此時長方體盒子的長為10cm，寬為5cm，高為15cm．