Question

如圖，△ABC內接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于點E，過點B作⊙O的切線交DA的延長線于點F，且∠ABF＝∠ABC．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若AD＝4，cos∠ABF＝，求DE的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）由BF是⊙O的切線，利用弦切角定理，可得∠ABF=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可證得∠ABC=∠C.，即可得AB=AC.
（2）連接BD，在Rt△ADB中，解直角三角形求出AB的長度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的長度；最后利用求得結果.
（1）∵BF是⊙O的切線，∴∠ABF=∠C.
∵∠ABF=∠ABC，∴∠ABC=∠C.
∴AB=AC.
（2）如圖，連接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵，∴.
∴AB=3.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵，∴.
∴.
∴.