Question

【題目】如圖，半徑為5的⊙P與y軸交于點M（0，﹣4），N（0，﹣10）

（1）求點P的坐標；

（2）將⊙P繞點O順時針方向旋轉90°后得⊙A，交x軸于B、C，求過A、B、C三個點的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）點P的坐標為（﹣4，﹣7）；（2）y＝﹣x2﹣x﹣．

【解析】

（1）連接PM，PN，過點P作PE⊥y軸于點E，由點M，N的坐標可得出MN的長度，利用等腰三角形的三線合一可得出ME，OE的長度，在Rt△PEM中，利用勾股定理可得出PE的長度，結合OE的長度及點P所在的象限即可得出點P的坐標；

（2）連接OP，OA，AB，AC（設點B在點C的右邊），過點P作PE⊥y軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，根據旋轉的性質可得出點A的坐標，在Rt△AFB中，利用勾股定理可得出BF的長度，進而可得出OB，OC的長，由OB，OC在x軸負半軸可得出點B，C的坐標，再由點A，B，C的坐標，利用待定系數法可求出過A，B，C三個點的拋物線的解析式．

（1）連接PM，PN，過點P作PE⊥y軸于點E，如圖1所示．

∵PM＝PN，

∴ME＝NE．

∵點M（0，﹣4），N（0，﹣10），

∴OM＝4，MN＝﹣4﹣（﹣10）＝6，ME＝MN＝3，

∴OE＝OM+ME＝7．

在Rt△PEM中，∠PEM＝90°，PM＝5，ME＝3，

∴PE＝＝4，

∴點P的坐標為（﹣4，﹣7）．

（2）連接OP，OA，AB，AC（設點B在點C的右邊），過點P作PE⊥y軸于點E，過點A作AF⊥x軸于點F，如圖2所示．

根據旋轉的性質，可知：OD＝OE＝7，AF＝PE＝4，

∴點A的坐標為（﹣7，4）．

在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，AF＝4，AB＝5，

∴BF＝＝3，

∴OB＝OF﹣BF＝4．

同理：CF＝3，OC＝OF+CF＝10，

∴點B的坐標為（﹣4，0），點C的坐標為（﹣10，0）．

設過A，B，C三個點的拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），

將A（﹣7，4），B（﹣4，0），C（﹣10，0）代入y＝ax2+bx+c，得：

解得：，

∴過A，B，C三個點的拋物線的解析式為y=-x2-x-．