Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B（A點在B點的左側）與y軸交于點C．

（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點，連接PC，若∠BCP=2∠ABC時，求點P的橫坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在AP上，過點P作PH⊥x軸于H點，點K在PH的延長線上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4 a，連接KB并延長交拋物線于點Q，求PQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，則A（1，0），B（4，0），

∴AB=3，

∵△ABC的面積為3，

∴ 4OC=3，解得OC=2，則C（0，﹣2），

把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2

（2）

解：過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠BCD，

∵∠BCP=2∠ABC，

∴∠PCD=∠ABC，

∴Rt△PCD∽Rt△CBO，

∴PD：OC=CD：OB，

即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，

∴點P的橫坐標為6

（3）

解：過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，

∵AK=FK，

∴∠KAF=∠KFA，

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

∵∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP為等腰直角三角形，

∵P（6，10a），

∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣ ，

在Rt△PFG中，∵PF=﹣4 a=2 ，∠FPG=45°，

∴FG=PG= PF=2，

在△AKH和△KFG中

，

∴△AKH≌△KFG，

∴KH=FG=2，

∴K（6，2），

設直線KB的解析式為y=mx+n，

把K（6，2），B（4，0）代入得 ，

解得 ，

∴直線KB的解析式為y=x﹣4，

當a=﹣ 時，拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x﹣2，

解方程組 ，

解得 或 ，

∴Q（﹣1，﹣5），

而P（6，﹣5），

∴PQ∥x 軸，

∴QP=7．

【解析】（1）通過解方程ax2﹣5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面積公式求出OC得到C點坐標，再把C點坐標代入y=ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式；（2）過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD=﹣ax2+5ax，通過證明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到點P的橫坐標；（3）過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，先證明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），則可得到﹣10a=6﹣1，解得a=﹣ ，再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG=PG= PF=2，接著證明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，則K（6，2），然后利用待定系數法求出直線KB的解析式為y=x﹣4，再通過解方程組 得到Q（﹣1，﹣5），利用P、Q點的坐標可判斷PQ∥x 軸，于是可得到QP=7．